Công trình đầu tiên của Hilbert về các hàm bất biến đã dẫn đến những kết quảtrong năm 1888 về định lý hữu hạn nổi tiếng của ông. Hai mươi năm trước đó, Paul Gordan đã chứng minh định lý về sự hữu hạn của các phần tử phát sinh cho các dạng nhị phân sử dụng một tiếp cận tính toán phức tạp. Những cố gắng tổng quát hóa phương pháp của ông cho hàm số có trên hai biến thất bại vì những khó khăn trong các tính toán liên quan. Hilbert nhận ra rằng cần phải đi theo một hướng hoàn toàn khác. Kết quả, ông chứng minh được định lý cơ sở Hilbert: cho thấy sự tồn tại của một tập hợp hữu hạn các phần tử phát sinh, cho những bất biến của những dạng quantic với số lượng biến bất kì, nhưng một dưới dạng trừu tượng. Nghĩa là, trong khi chứng minh sự tồn tại của một tập hợp như vậy, ông không sử dụng thuật toán mà chỉ đưa ra một định lý về sự tồn tại.

Hilbert gửi kết quả của mình cho tạp chí Mathematische Annalen. Gordan, chuyên gia của lý thuyết về các bất biến của tạp chí Mathematische Annalen, đã không đánh giá cao bản chất có tính cách mạng của định lý của Hilbert và từ chối bài báo, phê phán về cách trình bày là không đủ chi tiết. Lời phê của ông là:

Đây là Thần học, không phải Toán học!

Klein, mặt khác, nhận ra sự quan trọng của kết quả này, và bảo đảm rằng bài báo sẽ được xuất bản mà không bị thay đổi gì cả. Được khuyến khích bởi Klein và những lời phê của Gordan, Hilbert trong bài báo thứ hai mở rộng phương pháp của ông, đưa ra những đánh giá về bậc cao nhất của tập nhỏ nhất của các phần tử phát sinh, và ông gửi một lần nữa cho tạp chí Annalen. Sau khi đọc xong bản thảo, Klein trả lời thư, rằng:

Không nghi ngờ gì đây là một trong những công trình quan trọng nhất về đại số nói chung mà tạp chí Annalen đã từng xuất bản.

Sau này, sau khi sự hữu dụng của phương pháp của Hilbert được công nhận rộng rãi, chính Gordan đã nói rằng:

Tôi phải thừa nhận là ngay cả thần học cũng có giá trị của nó.